1 引言 

混沌动力系统的研究起源于Poincare(1890)，而后被许多研究者逐步发展和完善。在微分方程定性理论中，Lyapunov 指数是一种常用的分析动力系统性质的方法(Oseledec，1968)。Lyapunov 指数可以刻画动力系统初始误差的整体(长期)平均增长速率，为分析动力系统的特性提供了重要信息。当动力系统至少存在一个正的Lyapunov 指数时，表示系统初始临近轨道随时间是发散的，系统是混沌的。如果初始误差为δ₀ 而允许的最大误差记为Δ，最大Lyapunov 指数λ_max 可以用来定义混沌系统的可预报期限：

(Eckmann and Ruelle， 1985; Wolf et al. 1985;Lorenz，1996)。Lyapunov 指数度量了混沌系统的全局特征。为了研究吸引子的局部动力特征，Yoden and Nomura(1993)、Kazantsev(1999)、Ziehmann et al.(2000)提出了局部或有限时间Lyapunov 指数。相对于全局Lyapunov 指数，局部Lyapunov 指数可以更有效地展示吸引子的时空结构，有明显的优越性。但为了避开非线性处理的困难，很多局部Lyapunov 指数都是在假定初始误差足够小、误差的演化能够用切线性(tangentlinear model，TLM)模式来描述的情况下得到的。这就带来了一个弊端：线性近似已经被证明有很大的局限性，特别是只能应用于误差增长的初期一段很短的时间内。为了克服这种缺陷，非线性局部Lyapunov 指数方法(nonlinear local Lyapunovexponents，NLLE)近来被发展出来(李建平等，2006；丁瑞强，2007；Ding and Li， 2007)。NLLE使用原始的非线性方程(不做线性近似)来考虑误差的平均发展率和误差的饱和规律，得到了许多新结果，并且能够运用到实际的天气和气候可预报问题研究中。

使用微分方程的定性理论在研究非线性动力系统轨道的空间结构、混沌吸引子等方面取得了巨大的成功，而使用非线性局部Lyapunov 指数在研究误差的发展规律、可预报性方面有着重要的应用价值。以往的误差理论在误差发展规律的研究方面多集中于切线性模式，为了避免线性近似的缺陷，借鉴误差的非线性发展理论的做法，我们对非线性的误差发展方程进行研究。本文将原始非线性方程和它对应的误差方程系统合在一起看作一个广义的微分动力系统，应用定性理论分析此误差系统长期的动力学行为和性质，进而研究误差发展空间中的吸引子的结构，这对认识误差发展的规律是有重要意义的。

2 Lorenz方程的误差方程及其稳定点

Lorenz(1963)通过定性分析和数值试验指出一个确定的非线性动力系统可以有非常复杂的解，他所使用的 Lorenz63 方程被广泛用于混沌和可预报性方面的研究。Lorenz63 方程可以写为

其中，σ 、r 、b 是无量纲常数(本文中取参数σ =10，r = 28.0，b = 8/ 3)，t 为无量纲时间。记初值为(x₀，y₀，z₀)，初 值 误 差 的 向 量 为(u₀，v₀，w₀)，t 时刻的误差为(u，v，w)，则误差的发展方程满足：

即

联立(2)和(4)得方程组(5)：

共 6 个变量，有 6 个方程，可以求得(x，y，z，u，v，w)的解。由于误差向量的发展与方程(2)的解向量是紧密耦合在一起的，因此需要研究方程(5)才能得到误差发展的规律。

对于方程(5)可研究其稳定点问题，即求解

它的解如下：对于有3 组解：对于有3 组解：对于有另外3 组解：

不考虑 (x，y，z) 的变化，只考虑 (u，v，w) 的吸引中心，可以发现误差的吸引子的中心有7 个(9个解中去掉2 个重合的误差中心点)，分别为若只研究(u，v)的二维图形，不考虑w 的变化则为5 个中心区，这与解的吸引子中心在位置和数量上是不同的(解的定点个数为3)。

图 1a 为通过数值试验得到的误差(u，v，w)在(u，v)平面上的投影，可见较为明显的有 5 个中心区(由于不考虑w 的作用，与重合；与重合；与图 1b中解(x，y，z)在(x，y)平面上投影明显不同，图 1b 中的中心区域可以明显地看出来为3 个(0 点及两个吸引子中心)。误差的图像中除了中心区的位置和数量不同，轨迹的分布形式也更为复杂。

3 误差方程定点附近的稳定性分析

方程(5)一共有9 个平衡点，知道了这些平衡点后，可以用经典的微分方程理论分析方程(5)在平衡点附近的变化趋势。对方程(5)在定点附近做小参数展开，略去高阶项得

它的线性化矩阵为：

对于且线性化矩阵(8)变为

它的特征值为λ，特征方程为

特征方程的解为

当r <1时，是稳定吸引点；r =1时，为分叉点； r >11时，原点变为不稳定鞍点，同时出现新的平衡态。

对于第二组解且方程(8)变为

方程(10)的特征方程为

对于第三组解且方程(8)变为

方程(12)的特征方程为

对其它的6 组解，重复这个过程可以发现：虽然线性化矩阵的阶数为6，但方程(8)特征根的值与Lorenz 方程的特征根值是一样的(详细证明见第5 节)。在进行稳定性分析时，关注的是复数根中实部的正负号问题，以确定系统是渐近稳定还是发散，因此关于Lorenz 方程中r 的取值范围经典分析也适用于这个误差方程。即当1< r < 24.74时，有稳定的平衡态，r > 24.74时为混沌状态。

4 误差方程的吸引性质

证明一个光滑的微分动力系统存在吸引子和存在混沌吸引子是两个不同的问题。一般来说，证明存在吸引子只需要证明其轨道收敛到一个不变的点集即可。而混沌吸引子除了这个要求以外还需要证明其对初值的敏感性，因此是更为困难的。混沌吸引子的存在性证明一般使用的是Silnikov方法或判据(Silva，1993)，而吸引子的存在性证明可以采用丑纪范(1983)、李建平和丑纪范(1997)的方法。

对方程组(5)做如下变换：

得到

记算子

则方程(14)可以改写为算子方程：

定义内积：

若对任意 ϕ *，

则称 A*为 A 的伴随算子。特别地是，

这是相空间中点 ϕ 同原点的距离。对B、N、L 分别求出其伴随算子，有：

又根据内积的定义知：

所以B 为正定的，同理L 也为正定的。

以 ϕ 对方程(15)做内积有：则方程(14)可以改写为算子方程：

由

可得：

因为

是一个6 维的椭球，这个椭球外的点使得 d|ϕ|² / dt < 0，现在寻找一个6 维的球体

其中R 为半径，使得它刚好将公式(18)所定义的椭球包含在内。这实际上是求解 R² 在公式(18)约束下的条件极值问题，使用拉格朗日乘数法可以解出来 R² 数值。由于距离原点大于R 点也在椭球(18)的外面，因此 d|ϕ|² / dt < 0，即向 R²所定义的球内收缩；而距离原点小于R 的点也无法跑到 R² 所定义的球外。

Kalnay(2002)研究Lorenz63 模型时以流的散度

来研究方程(2)的耗散性。仿照Kalnay(2002)的做法，可以定义公式(14)对应的散度：

因此t→∞每个小的体积元都缩小到0(缩成一个曲面)。最终，误差方程描述的轨道都趋向于 R² 所定义的球内的一个低维曲面上，即误差方程存在全局吸引子。

证明：记 E = ui_u + vj_v + wk_w表示误差向量，定义模

为误差的绝对值，而t→∞时误差在吸引子空间的概率分布函数为 p(u，v，w，x，y，z)，则误差的平均值为：

其中积分区域为公式(19)所定义的球内，当 p(u，v，w，x，y，z)确定时，E 为常数，可以称为平均饱和误差。

5 一般误差方程的平衡点及其附近的稳定性问题

定义一个常微分系统：

其中 F_i(x₁，x₂，…，x_n) 为函数。方程(21)对应的定点问题为：

设求解方程组(22)得到的稳定点为 m 个，其中第k 个稳定点记为 X^k=(x^k₁，x^k₂，…，x^k_n)，则方程组(21)对应的误差发展系统为：

其中 e_i 为误差(注意误差不是小量)，方程组(23)对应的定点问题为：

可以看出方程组(24)中的前n 个方程构成的方程组同方程组(22)，因此 (x₁，x₂，…，x_n) 的定点个数也为 m 个，且与方程组(22)的解相同。

对方程组(24)中的后n 个方程，做变量替换y_i=x_i+e_i，转化为：

可见方程组(25)同方程组(22)，因此 (y₁，y₂，…，y_n)的定点个数也为 m 个，且与方程组(22)的解相同。对于1 2(，，，)n y y L y 的第k个定点有如下关系：

其中1≤k≤m，而 (x₁，x₂，…，x_n) 可以为 m 个定点中的任意一个，即

其中1≤k≤m，所以

即误差的稳定点为方程组(22)的稳定点两两做减法的组合，有 m² 个稳定点(可能包含重根)。

知道了误差的稳定点之后，根据动力系统稳定性的理论，只要研究方程组(23)的线性化系统的特征值问题，就能知道误差系统在稳定点附近的性质。

对应方程组(21)的线性化系数矩阵为：

其中 a_ij=∂F_i / ∂x_i(X=X^k)(即每个平衡点处，给出一套，这里只考虑1 阶线性化的情形)。而对于误差方程组(23)，线性化系数矩阵为：a_ij

其中 b_ij= ∂F_i / ∂x_i(X=X^l)，且记

矩阵(26)对应的特征值方程为 λ I − A = 0，每个定点对应一组特征值 λ =(λ₁，λ₂，…，λ_n)，共有 m组。误差方程(27)的特征值方程可化为：(λ I − A)(λ I − β ) = 0，而(λ I − β )= 0得到的 m 组特征值为 λ I − A = 0得到的 m 组特征值的另一个排列，因此并没有产生新的特征值，而且最大的特征值 λ_max 也相同，因此对于矩阵(26)中各参数的取值而引起的平衡点特性的结果，也适用于误差方程。

6 小结

将Lorenz 方程及其导出的误差方程作为联立方程来研究误差的性质，对联立方程的稳定性分析表明，Lorenz 系统的全误差方程共有9 个平衡点，如果只考虑误差定点的位置(不考虑解的定点位置)，那么误差的平衡点为7 个。误差方程可以改写为一个特殊的算子方程，误差轨线将收敛于一个有限的区域，此外误差方程对应的流的散度为负值，因此其在相空间中的体积不断收缩，最终趋向一个低纬曲面，在相空间中趋向于体积为0 的不变点集，因此误差方程具有吸引子。当t→∞时，误差 (u，v，w) 的轨迹在吸引域中的概率分布是确定的，因此平均饱和误差 E 是确定的常数。这个结果可以解释小初始误差经过一段时间的发展之后，趋向饱和的现象。

除了讨论Lorenz 方程，本文还把针对Lorenz方程的误差联立方程方法拓展到一般的常微分动力系统，展示了对一般误差方程的特征矩阵进行分析研究其特征行列式性质的方法，得到了一般误差系统中相应的稳定点和平衡态性质与原动力系统的稳定点和平衡态性质的关系。结果表明，误差方程对应的特征方程并没有引入与原方程不同的特征值，而只排列顺序上有所不同，因此原方程的稳定性分析和判据也适用于误差方程。

将全误差方程看作一个广义的微分动力系统来进行研究的好处是明显的，这使得我们可以将全部的研究动力系统的理论、方法和工具直接用于误差的研究和分析。应用定性理论分析全误差系统长期的动力学行为和性质，进而研究误差发展空间中的吸引子的结构，这对认识误差发展的规律是有重要意义的。本文的研究中得到了Lorenz 系统误差发展的平衡点、稳定性判据、吸引性质等以前未被误差增长理论所描述的性质，其结果除了可以解释平均饱和误差趋于常数的现象外，还可以进一步用来讨论预报期限等可预报性问题。本文只证明了误差方程具有全局的吸引子，更进一步可以使用Silnikov 方法来研究这个吸引子是否为混沌吸引子，这些问题将在下一步的工作中予以研究。

致谢感谢两名审稿人提出的细致而且有价值的建议，对提高本文质量有很大帮助。